数字的存储

数乃万物之理，了解数字，就是掌握真理。都知道数字在计算机中是二进制存储的，但是具体到存储细节可能让很多程序员犯难了。这里我们就深耕细节，展开介绍下整数及浮点数在java虚拟机的表示。

概念介绍

计算机的信息都是以二进制形式表示的，数值也不例外。数有正负之分，那就把最高位存放符号位呗(0为正，1为负)，这诞生了原码。

什么是原码

所谓原码，就是符号位加上数字的二进制表示，其中符号位1表示负数，0表示正数。比如说该整数类型的位数是8，那么原码能够表示该整数类型数值的范围就是：(-$2^7 + 1$) ~ ($2^7 - 1$) => (-127 ~ 127)

好了，数值有了在计算机中的表示方法，那么就可以对数值进行算术运算了。但是很快就发现原码进行乘除运算时还好，在加减运算的时候就出现了幺蛾子。

假定一个数是8位，我们来看看1 - 1的计算过程：

1 - 1 = 1 + (-1)
00000001(原码) + 10000001(原码) = 10000010(原码) => -2

这就尴尬了，计算机连最简单的1 - 1都能算错🙄。那让它算下 1 + 1？

00000001(原码) + 00000001(原码) = 00000010(原码) => 2

好吧，没问题。事实上对于正数的加法运算中原码是完全ok的，问题就出现在带符号位的负数身上。于是，人们为了解决这个问题，就发明了....

什么是反码

对，没错，就是反码。反码对于正数就是原码本身，对于负数则在原码的基础上，符号位不变，其余位取反。好的，那来验证下上面的两个运算：

// 1 - 1
1 - 1 = 1 + (-1)
00000001(反码) + 11111110(反码) = 11111111(反码) = 10000000(原码) = -0  // 有些小问题

// 1 + 1
00000001(反码) + 00000001(反码) = 00000010(反码) = 00000010(原码) = 2  // ok

这一次加减法是没啥子问题，但是有瑕疵，那就是出现在0这个特殊数值上。+0和-0虽说数值是一样的，但是给0带上符号是没意义的。而且0的编码表示还存在两种: 10000000(-0)和00000000(+0)。好了，人们还是接受不了0的这个问题，于是补码粉墨登场😎

什么是补码

什么是补码？简单来说：负数的补码就是反码加1，整数的补码就是原码本身。那使用补码再来看看上面的1 - 1的计算

// 1 - 1
1 - 1 = 1 + (-1)
00000001(补码) + 11111111(补码) = 00000000(补码) = 00000000(原码) = 0

那关于0的补码表示呢？

• 如果0是正数，补码为原码本身：00000000
• 如果0是负数，原码是10000000，反码为11111111，补码为反码加上则是00000000

这样补码中0的表示就只有一种: 00000000，之前说的-0则不存在了，而且补码中的10000000还可以表示最低数-128，这样8位的数值范围就是：(-128 ~ 127)

数值的表示总算尘埃落定，补码不负众望，成为了计算机中的数值表示。

Info

1. 原码是最符合人直观的数值二进制表示，但是存在减法运算的问题
2. 反码在原码基础之上，解决了减法运算的问题，但是又存在0有两个编码的问题
3. 补码在反码基础之上，解决了0有两个编码的问题，也多出了一个编码表示最低数。同时也简化整数的加减法计算，将减法视为加法，实现加减法的统一

好了，我们讲了数值二进制的几种编码，原码、反码和补码。那具体到java中，又是有哪些的不同呢？

整数的表示

数值有大小之分，为了方便存储与计算效率，在java虚拟机中，整数分为byte,short,int和long四种，分别表示8位、16位、32位、64位有符号整数。java中是不存在无符号整数的，C语言是有的。具体如下：

基本类型	大小(bit)	最小值	最大值
byte	8	-128	127
short	16	-$2^{15}$	$2^{15}$ -1
int	32	-$2^{31}$	$2^{31}$ -1
long	64	-$2^{63}$	$2^{63}$ -1

java中Integer和Long类型也提供了输出二进制补码的支持，拿Integer来说：

Integer.toBinaryString(10); // 1010
Integer.toBinaryString(-10); // 11111111111111111111111111110110

浮点数的表示

在编程中，浮点类型数据主要用于表示小数的。对比于整数的表示，计算机表现小数的难点就在于小数点后面的数字了。浮点数在计算机中的表示是基于科学计数法的，只不过是二进制的而已。

我们知道二进制表示整数的时候，最低位表示$2^0$，往高位依次是$2^1$,$2^2$,$2^3$,...,$2^n$。那么对应的，对于二进制小数点的部分，最高位则是$2^{-1}$,$2^{-2}$,$2^{-3}$,$2^{-4}$,...,$2^{-m}$。

下面举几个例子：

calculate

十进制的7.125，用二进制表示是111.001。其实这种转换是存在些问题的，十进制不是无限循环小数的，转换成二进制就变成了无限循环小数。像上述例子中的0.6，表示成二进制之后成了循环体为1001的无限循环小数。而计算机底层无法精确存储那个无限循环二进制数的，只能存一个四舍五入的数值了，这就导致了浮点数精度不准确的问题。这种机制也直接说明了：对于金额这种对精度有要求的计算，可别用浮点数了。

下面是java中的具体例子, float数值的比较和运算都有可能会出现问题：

0.60000003f == 0.60000001f // true
0.1f + 0.11f // 0.21000001

下一步，将二进制表示为以2为底的科学计数法，如图：

transform

所以要存浮点数数，需要存储三个部分：正负号，尾数，指数。二进制的科学记数法表现形式如下

$$value = flag * m * 2^{n}$$

Info

我们知道-32767这个数用科学计数法可以写成-3.2767×$10^{4}$，其中-表示符号，3.2767称为尾数，4称为指数。浮点数在计算机中的表示与此类似，只是它的基数是2而不是10。

所以再看上面的公式：flag * m * $2^{n}$就容易得知，flag就是符号位，m就是尾数，n就是指数了，由于是二进制的科学计数法，此处的m的范围：1.0 <= m < 2.0,数值都是1点几了，1可以不存，只存小数点后面的数字了。

知道了这三个是浮点数表示的重要组成部分，我们再来看下IEEE 754标准了，它是浮点数的主要存储方案。这一标准最早在1985年提出，基本上已经被用于所有计算机中。先后经历了几次更新，但浮点数的表示规则却从来没有变过。

在IEEE 754的定义中，一个浮点数由3部分组成，分别是符号位、指数位和尾数位。Java中float和double两种类型的表示如下:

类型	符号位	指数位	尾数位	总共
float	1	8	23	32
double	1	11	52	64

对于指数部分，加上了编译量$2^{n} - 1$，所以对于8位的float类型，编译量就是127，相应的double类型就是1023。

所以对于float类型的-7.5，我们来看看它的二进制存储是什么样的

浮点数：-7.5f

我们快速算下0.6的数值：

浮点数：0.6f

Java本身是平台无关的，它提供了统一的字节序视图，不受底层硬件的影响。Java虚拟机规定了所有数值类型的大端字节序。

float浮点数还可以表示一些特殊的数字，如下：

数值	二进制表示
正无穷	0 11111111 00000000000000000000000
负无穷	1 11111111 00000000000000000000000
NaN	0 11111111 10000000000000000000000
0	0 00000000 00000000000000000000000
最大正浮点数	0 11111110 11111111111111111111111
最小正浮点数	0 00000000 00000000000000000000001

FAQ

使用补码，怎么乘除法？

字节序的大端模式与小端模式？

浮点数正无穷与负无穷？

浮点数为什么要加偏移量？

总结

参考资料

• ieee-standard-754-floating-point-numbers